Question

6．已知f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（${\frac{π}{2}$-x）+1（λ＞0）的最大值為3．
（I）求函數(shù)f（x）的對稱軸；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}{2c-b}$，若不等式f（B）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）借助輔助角公式，將f（x）化簡為一個三角函數(shù)式，由此得到對稱軸．
（Ⅱ）由正弦定理得到A，由此得到B的范圍，即可得到f（B）的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（${\frac{π}{2}$-x）+1，
=λsinxcosx-cos²x+sin²x+1=$\frac{1}{2}$λsin2x-cos2x+1≤$\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{4}+1}$+1，
∴$\sqrt{\frac{{λ}^{2}}{4}+1}$+1=3，
∴λ=2$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，（k∈Z）．
（Ⅱ）∵$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}{2c-b}$，
由正弦定理得，$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{2sinC-sinB}$，
可變形得，sin（A+B）=2cosAsinC，即sinC=2cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
∴f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+1，只需f（x）_max＜m，
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤1，即0＜f（B）≤3，
∴m＞3．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡以及由正弦定理得到最值問題．