Question

16．設函數f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≥0時，若滿足?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；
（Ⅱ）求出f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+ax+1-a}{x+1}$，令g（x）=2ax²+ax+1-a=2a${（x+\frac{1}{4}）}^{2}$+1-$\frac{9a}{8}$，通過a的范圍，判斷函數的單調性，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數的定義域是（-1，+∞），
a=1時，f（x）=ln（x+1）+x²-x，
f′（x）=$\frac{x（2x+1）}{x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{1}{2}$，
得：f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）遞增，在（-$\frac{1}{2}$，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴x=-$\frac{1}{2}$時，f（x）取得極大值f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$-ln2，
x=0時，f（x）取得極小值f（0）=0；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+ax+1-a}{x+1}$，
令g（x）=2ax²+ax+1-a=2a${（x+\frac{1}{4}）}^{2}$+1-$\frac{9a}{8}$，
①若1-$\frac{9a}{8}$≥0，即0≤a≤$\frac{8}{9}$，則g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
從而f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增，
而f（0）=0，∴0≤a≤$\frac{8}{9}$符合題意；
②若1-$\frac{9a}{8}$＜0，即a＞$\frac{8}{9}$，
由于g（-1）=1＞0，g（1）=2a+1＞0，
則g（x）在（-1，+∞）有2個零點，
從而函數f（x）在（-1，+∞）上有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜-$\frac{1}{4}$＜x₂，
當$\frac{8}{9}$≤a≤1時，∵g（0）≥0，可知x≥0時，f′（x）≥0恒成立，
x＞0時，f（x）＞f（0）=0成立，
a＞1時，g（0）＜0，可知f（x）在（0，x₂）遞減，
∵f（0）=0，故不能滿足題意，
綜上 a∈[0，1]．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道綜合題．