Question

1．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+2）e^x（x，a∈R）．
（1）當(dāng)a=-$\frac{5}{2}$，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）若f（x）在R單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得a=-$\frac{5}{2}$時，函數(shù)f（x）=（x²-$\frac{5}{2}$x+2）e^x，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得極值點，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，即可得到極小值f（1）；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由于e^x＞0恒成立，可令g（x）=x²+（2+a）x+a+2，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）在R單調(diào)遞增，即為g（x）≥0恒成立，運用判別式小于等于0，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\frac{5}{2}$時，函數(shù)f（x）=（x²-$\frac{5}{2}$x+2）e^x，
可得導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）e^x，
由f′（x）=0，可得x=1或-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞1或x＜-$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$），（1，+∞）遞增；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（-$\frac{1}{2}$，1）遞減．
可得f（x）在x=1處取得極小值，且為f（1）=$\frac{1}{2}$e；
（2）函數(shù)f（x）=（x²+ax+2）e^x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+2）e^x=[x²+（2+a）x+a+2]e^x，
由于e^x＞0恒成立，可令g（x）=x²+（2+a）x+a+2，
由f（x）在R單調(diào)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，
可得f（x）在R單調(diào)遞增，即為g（x）≥0恒成立，
即有△=（2+a）²-4（2+a）≤0，
解得-2≤a≤2．
則a的取值范圍是[-2，2]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查單調(diào)性的判斷和二次不等式恒成立問題的解法，注意結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．