Question

已知圓M：（x-

2

）²+y²=

7

3

，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點為圓M的圓心，左焦點與雙曲線x²-y²=1的左頂點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx與橢圓C分別交于兩點A，B，與圓M分別交于兩點G，H（其中點G在線段AB上）且|AG|=|BH|，求k的值．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出圓心M(

2

，0)，雙曲線的左頂點（-1，0），可得橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓聯(lián)立，求出|AB|，|GH|，利用|AG|=|BH|，可得|AB|=|GH|，建立方程，即可求k的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，圓心M(

2

，0)，雙曲線的左頂點（-1，0），（1分）
所以a=

2

，c=1，b=1，橢圓方程為：C：

x2

2

+y2=1（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線l與橢圓相交于兩點A，B，則

y=kx x2+2y2-2=0

所以（1+2k²）x²-2=0，則x1+x2=0，x1x2=-

2

1+2k2

，（5分）
所以|AB|=

(1+k2) 8 1+2k2

=

8(1+k2) 1+2k2

（7分）
點M(

2

，0)到直線l的距離d=

| 2 k|

1+k2

，
則|GH|=2

r2-d2

=2

7 3 - 2k2 1+k2

（9分）
顯然，若點H也在線段AB上，則由于對稱性知，直線y=kx就是y軸，矛盾．
因為|AG|=|BH|，所以|AB|=|GH|，（10分）
即

8(1+k2)

1+2k2

=4(

7

3

-

2k2

1+k2

)整理得4k⁴-3k²-1=0（12分）
解得k²=1，即k=±1（13分）

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，正確計算|AB|，|GH|是關(guān)鍵．