Question

是否存在角α和β，當(dāng)α∈（-

π

2

，

π

2

），β∈（0，π）時(shí)，等式

sin(3π-α)= 2 ( π 2 -β) 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β)

同時(shí)成立？若存在，則求出α和β的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：首先由誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)化已知條件并列方程組，再利用公式sin²β+cos²β=1解方程組，最后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出滿足要求的α、β．

解答： 解　存在α=

π

4

，β=

π

6

使等式同時(shí)成立．理由如下：
由由條件得

sinα= 2 sinβ 3 cosα= 2 cosβ

，
兩式平方相加得，sin²α+3cos²α=2，∴cos²α=

1

2

即cosα=±

2

2

．
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），∴α=

π

4

或α=-

π

4

．
將α=

π

4

代入②得cosβ=

3

2

．又β∈（0，π），
∴β=

π

6

，代入①可知，符合．
將α=-

π

4

代入②得β=

π

6

，代入①可知，不符合．
綜上可知α=

π

4

，β=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查誘導(dǎo)公式、同角正余弦關(guān)系式及特殊角三角函數(shù)值．