Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有兩解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞

5

3

，記h（x）=

1

a

g（x）f（x），試求函數(shù)y=h（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)絕對值的應(yīng)用結(jié)合x的方程f（x）=g（x）有兩解，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求出h（x）=

1

a

g（x）f（x）的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)y=h（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=|x|為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時，f（x）=|x-a|為非奇非偶函數(shù)．
（2）由|x-a|=ax，
若a=0，則方程等價為|x|=0，此時x=0，只有一個解，不滿足條件．
若a＞0，分別作出函數(shù)y=|x-a|與y=ax的圖象，
此時只要滿足當(dāng)x≥a時，y=|x-a|=x-a與y=ax有交點(diǎn)即可，
此時滿足y=ax的斜率a＜1，即0＜a＜1，
若a＜0，只要滿足當(dāng)x≤a時，y=|x-a|=-x+a與y=ax有交點(diǎn)即可，
此時滿足y=ax的斜率a＞-1，即-1＜a＜0，
綜上0＜a＜1或-1＜a＜0．
（3）h（x）=

1

a

g（x）f（x）=

1

a

•|x-a|•ax=|x-a|•x=

x2-ax， x≥a -x2+ax， x＜a

=

(x- a 2 )2- a2 4 x≥a -(x- a 2 )2+ a2 4 x＜a

，
當(dāng)

5

3

＜a＜2時，f（x）在[1，a]上遞減，在[a，2]上遞增，h（1）-h（2）=3a-5＞0，h（1）＞h（2），
h（x）_max=h（1）=a-1．
當(dāng)2≤a≤4時，h_max（x）=F（

a

2

）=

a2

4

，
當(dāng)a＞4時，h_maz（x）=h（2）=-4+2a，
∴h_maz（x）=

a-1， 5 3 ＜a＜2 a2 4 ， 2≤a≤4 2a-4， a＞4

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和函數(shù)最值的求解，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．