Question

18．設(shè)$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{2}$，1），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分則為a，b，c．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（A）=1，a=$\sqrt{3}$，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解得本題，
（2）根據(jù)函數(shù)值求出A的大小，求出B的范圍，由正弦定理即可求出．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{2}$，1），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{4π}{3}$+2kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）=1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴0＜sinB≤1，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}•sinB}{sin\frac{π}{3}}$=2sinB，
∴0＜b≤2．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)式的化簡以及三角函數(shù)性質(zhì)和解三角形，屬于中檔題．