Question

8．已知等比數(shù)列{a_n}、等差數(shù)列{b_n}，滿足a₁＞0，b₁=a₁-1，b₂=a₂，b₃=a₃且數(shù)列{a_n}唯一．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，從而可得（q-1）²=$\frac{1}{{a}_{1}}$，從而結(jié)合數(shù)列{a_n}唯一可得a₁=1，q=2；從而解得．
（2）化簡a_n•b_n=（2n-2）2^n-1，結(jié)合通項公式的形式可知利用錯位相減法求其前n項和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵b₁=a₁-1，b₂=a₂，b₃=a₃，且{b_n}為等差數(shù)列，
∴2a₂=（a₁-1）+a₃，
即2a₁q=（a₁-1）+a₁q²，
即（q-1）²=$\frac{1}{{a}_{1}}$，
∵數(shù)列{a_n}唯一，
∴q在{q|q≠0}上只有一個解，
∴（q-1）²=$\frac{1}{{a}_{1}}$中有一個解為q=0，
故$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，此時，a₁=1，q=2；
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{b_n}是以0為首項，2為公差的等差數(shù)列；
故a_n=2^n-1，b_n=2n-2；
（2）a_n•b_n=（2n-2）2^n-1，
S_n=0•1+2•2+4×4+6×8+…+（2n-2）2^n-1，
2S_n=0•2+2•4+4×8+6×16+…+（2n-2）2ⁿ，
兩式作差可得，
S_n=-2×2+（-2）×4+（-2）×8+…+（-2）×2^n-1+（2n-2）2ⁿ
=（2n-2）2ⁿ-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）
=（n-1）2ⁿ⁺¹-$\frac{{2}^{2}（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$
=（n-2）2ⁿ⁺¹+4．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了錯位相減法的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．