Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=m-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，m∈R
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求常數(shù)m的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定義域為R，從而由f（x）為奇函數(shù)便可得到f（0）=0，這樣即可求出m的值；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在R上為增函數(shù)．

解答 解．（1）∵f（x）為奇函數(shù)，f（x）的定義域為R；
∴f（0）=m-1=0；
∴m=1；
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=m-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-（m-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）$=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$；
又$（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上為增函數(shù)．

點評 考查奇函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及奇函數(shù)在原點有定義時，在原點處的函數(shù)值為0，增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后為分式的一般要通分．