Question

4．二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的某一型號二手汽車的使用年數(shù)x（0＜x≤10）與銷售價格y（單位：萬元/輛）進行整理，得到如下的對應數(shù)據(jù)：

使用年數(shù)	2	4	6	8	10
售價	16	13	9.5	7	4.5

（1）若這兩個變量呈線性相關關系，試求y關于x的回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）已知小王只收購使用年限不超過10年的二手車，且每輛該型號汽車的收購價格為ω=0.03x²-1.81x+16.2萬元，根據(jù)（1）中所求的回歸方程，預測x為何值時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤L（x）最大？
（銷售一輛該型號汽車的利潤=銷售價格-收購價格）
參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）計算平均數(shù)，分別求出$\widehat$，$\widehat{a}$的值，求出回歸方程即可；
（2）求出方程L（x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）由已知：$\overline x=6$，$\overline y=10$，…（2分）
$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=242$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=220$$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{{\overline x}^2}}}=-1.45$，…（5分）
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=18.7$…（6分）
所求線性回歸直線方程為$\hat y=-1.45x+18.7$…（7分）
（2）L（x）=y-ω=-1.45x+18.7-（0.03x²-1.81x+16.2）
=-0.03x²+0.36x+2.5=-0.03（x-6）²+3.58（0＜x≤10）…（10分）
∵0＜x≤10
∴當x=6時，L（x）_max=3.58（萬元） …（11分）
所以預測x=6時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤L（x）最大．…（12分）

點評 本題考查了求回歸方程問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及求函數(shù)最值問題，是一道中檔題．