Question

5．已知拋物線C：y²=-2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為-3的一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離為4．
（1）求p的值；
（2）設(shè)動(dòng)直線y=k（x+2）與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，問：在x軸上是否存在與k的取值無關(guān)的定點(diǎn)M，使得∠AMB被x軸平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線性質(zhì)可知：丨-3-$\frac{p}{2}$丨=4，解得p值．
（2）分類討論k的取值，當(dāng)k≠0時(shí)，令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)存在點(diǎn)M（a，0）滿足條件，由已知得k_AM=-K_BM，整理得（y₁y₂+4a）（y₁+y₂）=0；把直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解得a的值．

解答 解：（1）由拋物線性質(zhì)可知：丨-3-$\frac{p}{2}$丨=4，
∵p＞0，
∴p=2，
（2）拋物線方程為：y²=-4x，
當(dāng)k=0，直線只與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不成立，
當(dāng)k不存在時(shí)，與x軸垂線，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然成立；
當(dāng)k≠0時(shí)，令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)存在點(diǎn)M（a，0）滿足條件，由已知得k_AM=-K_BM，
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
整理得：（y₁y₂+4a）（y₁+y₂）=0，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=-4x}\end{array}\right.$，整理得y²+$\frac{4y}{k}$-8=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-8，
∴（4a-8）（-$\frac{4}{k}$）=0，
∴4a-8=0，解的a=2，
因此存在點(diǎn)M（2，0）滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線的斜率公式，拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．