Question

【題目】如果數(shù)列，，…，（m ≥ 3，）滿足：①＜＜…＜；②存在實(shí)數(shù)，，，…，和d，使得≤＜≤＜≤＜…≤＜，且對(duì)任意0 ≤ i ≤ m﹣1（I ），均有，那么稱數(shù)列，，…，是“Q數(shù)列”．

（1）判斷數(shù)列1，3，6，10是不是“Q數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（2）已知k，t均為常數(shù)，且k＞0，求證：對(duì)任意給定的不小于3的正整數(shù)m，數(shù)列 （n＝1，2，…，m）都是“Q數(shù)列”；

（3）若數(shù)列（n＝1，2，…，m）是“Q數(shù)列”，求m的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）是（2）見解析（3）3或4

【解析】

（1）存在數(shù)列-1，2，5，8，11成等差，且有-1<1<2<3<5<6<10<11,所以數(shù)列1，3，6，10是“Q數(shù)列”;(2) 因?yàn)槌��?shù)k > 0，，恒成立，所以數(shù)列（n = 1，2，…，m）滿足①m為任意給定的不小于3的正整數(shù)，恒成立，滿足②即可得證；（3）m=3或4時(shí)可舉出具體的數(shù)列滿足條件；當(dāng)m=5時(shí)，不成立，從而當(dāng)m≥5時(shí)，數(shù)列{2n}，（n=1，2，3，…，m）不可能為“Q數(shù)列”，由此求出m的所有可能取值為3或4．

（1）數(shù)列1，3，6，10是“Q數(shù)列”.因?yàn)榇嬖跀?shù)列-1，2，5，8，11成等差，且有-1<1<2<3<5<6<10<11.所以數(shù)列1，3，6，10是“Q數(shù)列”

（2）因?yàn)槌��?shù)k > 0，，恒成立，所以數(shù)列（n = 1，2，…，m）滿足①.

又存在等差數(shù)列（n = 0，1，…，m），其中，

使得對(duì)任意的n = 1，2，…，m，其中m為任意給定的不小于3的正整數(shù)，

恒成立，滿足②，即證.

（3）當(dāng)m = 3時(shí)，對(duì)于數(shù)列2，4，8，存在等差數(shù)列0，3，6，9滿足條件.

當(dāng)m = 4時(shí)，對(duì)于數(shù)列2，4，8，16，存在等差數(shù)列-3，2，5，8，13，5，19滿足條件.

當(dāng)時(shí)，若存在初數(shù)和d，使得

，且任意，均有.

則有.

所以，

所以，這與矛盾，

所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列（n = 1，2，…，m）不可能為“Q數(shù)列”.

所以m的所有可能值為3或4.