Question

3．對于函數(shù)y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù)．若f（x）=x-lnx是[1，+∞）上的k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（1-$\frac{1}{e}$，1）．

Answer 1

分析 求函數(shù)f（x）的導數(shù)，判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞） 內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，利用導數(shù)求得g（x）的極小值為：g（e）=1-$\frac{1}{e}$，求出直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點時，滿足條件，從而求得k的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x-lnx，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∵x≥1，
∴f′（x）≥0，
即f（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：a-lna=ka，b-lnb=kb，即a，b為方程x-lnx=kx的兩個不同根．
∴k=1-$\frac{lnx}{x}$，令 g（x）=1-$\frac{lnx}{x}$，令 g'（x）=-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0得x＞e，
由g′（x）＜0得1≤x＜e，
即可得極小值點x=e，故g（x）的極小值為：g（e）=1-$\frac{1}{e}$，
當x=1時，g（1）=1趨于-∞，當x趨于∞時，g（x）趨于1，
因此當1-$\frac{1}{e}$＜k＜1時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，方程 k=1-$\frac{lnx}{x}$ 有兩個解．
故所求的k的取值范圍為（1-$\frac{1}{e}$，1），
故答案為：（1-$\frac{1}{e}$，1）

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)判斷是單調(diào)性是解決本題的關鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，綜合性較強，有一定的難度．