Question

18．已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量$\overrightarrow{m}$=（2-2sinA，sinA+cosA）與$\overrightarrow{n}$=（sinA-cosA，1+sinA）共線，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＞0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin²$\frac{B}{2}$+cos$\frac{C-B}{2}$的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平行向量的坐標(biāo)關(guān)系即可得到（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA+cosA）（sinA-cosA）=0，這樣即可解出sin²A，而由A為三角形的內(nèi)角及$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$＞0，從而判斷出A為銳角，這樣即可求出A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由B+C=$\frac{2π}{3}$便得C=$\frac{2π}{3}-B$，從而得到$\frac{C-B}{2}=\frac{π}{3}-B$，這樣利用二倍角的余弦公式及兩角差的正余弦公式即可化簡原函數(shù)y=1+sin（B-$\frac{π}{6}$），由前面知0$＜B＜\frac{2π}{3}$，從而可得到B-$\frac{π}{6}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可得到$sin（B-\frac{π}{6}）$的范圍，這樣即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)知：（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA+cosA）（sinA-cosA）=0；
∴2（1-sin²A）-sin²A+cos²A=0；
∴$si{n}^{2}A=\frac{3}{4}$；
又A為三角形內(nèi)角，所以$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}＞0$知A為銳角；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及題設(shè)知：$B+C=\frac{2π}{3}$；
所以：$y=2{sin^2}\frac{B}{2}+cos（\frac{π}{3}-B）=1-cosB+cos（\frac{π}{3}-B）$=$1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB-\frac{1}{2}cosB=1+sin（B-\frac{π}{6}）$；
又$0＜B＜\frac{2π}{3}$；
∴$-\frac{π}{6}＜B-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$；
∴$-\frac{1}{2}＜sin（B-\frac{π}{6}）＜1$；
∴$y∈（\frac{1}{2}\;，\;2）$；
因此函數(shù)$y=2{sin^2}\frac{B}{2}+cos\frac{C-B}{2}$的值域?yàn)?（\frac{1}{2}\;，\;2）$．

點(diǎn)評 考查平行向量的坐標(biāo)的關(guān)系，sin²A+cos²A=1，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，已知三角函數(shù)值求角，以及三角形的內(nèi)角和為π，二倍角的余弦公式，兩角差的正余弦公式，要熟悉正弦函數(shù)的圖象．