Question

15．已知f（x）是定義在（-3，0）∪（0，3）上的偶函數(shù)，f （x）在（0，3）上的圖象如圖，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集是（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（-1，0）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性只要求出當(dāng)x∈（0，3）上不等式的解集即可．

解答 解：當(dāng)0＜x＜3時(shí)，不等式f（x）•cosx＜0等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＞0}\\{cosx＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＜0}\\{cosx＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{\frac{π}{2}＜x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{0＜x＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，即$\frac{π}{2}$＜x＜3或0＜x＜1，
∵函數(shù)f（x）•cosx為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-3，0）時(shí)，不等式f（x）•cosx＜0的解為-3＜x＜-$\frac{π}{2}$或-1＜x＜0，
綜上不等式的解為$\frac{π}{2}$＜x＜3或0＜x＜1或-3＜x＜-$\frac{π}{2}$或-1＜x＜0，
即不等式的解集為（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（-1，0）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3），
故答案為：（-3，-$\frac{π}{2}$）∪（-1，0）∪（0，1）∪（$\frac{π}{2}$，3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，利用對稱性求出0＜x＜3時(shí)，不等式的解集是解決本題的關(guān)鍵．