Question

19．已知函數(shù)$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的反函數(shù)為f^-1（x）
（1）判斷f（x）的單調性并證明；
（2）解關于x的不等式f^-1（x²-2）＜f（x）．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的定義域為：（1，+∞），利用定義法，可證得函數(shù)f（x）在（1，+∞）為減函數(shù)；
（2）由已知可得f^-1（x）=f（x），故不等式f^-1（x²-2）＜f（x）可化為：f（x²-2）＜f（x），結合（1）中函數(shù)的單調性和定義域，可得答案．

解答 解：（1）由a-a^x＞0，0＜a＜1得：x＞1，
故函數(shù)$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的定義域為：（1，+∞），
函數(shù)f（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，理由如下：
任取x₂＞x₁＞1，
則$a-{a}^{{x}_{1}}$＞0，${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=$lo{g}_{a}（a-{a}^{{x}_{2}}）$-$lo{g}_{a}（a-{a}^{{x}_{1}}）$=$lo{g}_{a}\frac{a-{a}^{{x}_{2}}}{a-{a}^{{x}_{1}}}$=$lo{g}_{a}（1+\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{a-{a}^{{x}_{1}}}）$＜log_a1=0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
即函數(shù)f（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，
（2）由已知可得f^-1（x）=f（x），
故不等式f^-1（x²-2）＜f（x）可化為：f（x²-2）＜f（x）．
即x²-2＞x＞1，
解得：x＞2

點評 本題考查的知識點是反函數(shù)，函數(shù)的單調性的判斷與證明，函數(shù)單調性的應用，二次不等式的解法，難度中檔．