Question

某高中畢業(yè)學年，在高校自主招生期間，把學生的平時成績按“百分制”折算，排出前n名學生，并對這n名學生按成績分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數依次成等差數列，且第四組的人數為60．
（Ⅰ）請在圖中補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若B大學決定在成績高的第4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生，并且分成2組，每組3人進行面試，求95分（包括95分）以上的同學在同一個小組的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）根據等差數列的性質計算出各組人數，從而求出各組頻率，即可補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）列舉抽樣的所有可能，找出符合題意得基本事件個數，利用概率個數計算即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵第四組的人數為60，
∴總人數為：5×60=300，
由直方圖可知，
第五組人數為：0.02×5×300=30人，
又∵

60-30

2

=15為公差，
∴第一組人數為：45人，
第二組人數為：75人，
第三組人數為：90人．
∴第1至第4組的頻率分別為：0.15，0.25，0.30，0.20．
如圖可補全頻率分布直方圖．
（Ⅱ）第四組中抽取人數：

6

90

×60=4人，
第五組中抽取人數：

6

90

×30=2人，
∴95分以上的共2人．
設第四組抽取的四人為A₁，A₂，A₃，A₄，
第五組抽取的2人為B₁，B₂，
這六人分成兩組有兩種情況，
情況一：B₁，B₂在同一小組有4種可能結果，
情況二：B₁，B₂不在同一小組有6種可能結果，
總共10種可能結果，
∴兩人在一組的概率為

4

10

=

2

5

．

點評：本題考查等差數列性質與頻率分布直方圖的綜合應用，古典概型概率的計算，屬于中檔題．