Question

4．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-4，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\frac{9}{8}$）
• B． （1，$\frac{9}{7}$）
• C． （$\frac{9}{7}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{9}{8}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（a+2）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\end{array}\right.$，分-2≤a≤2，a∈（2，4]，a∈[-4，-2）討論函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值，從而可知tf（a）在極值所成的區(qū)間上，再轉(zhuǎn)化為最值問題即可．

解答 解：當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（a+2）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\end{array}\right.$在R上是增函數(shù)，
則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
則當(dāng)a∈（2，4]時(shí)，由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（a+2）x，x≤a}\\{{x}^{2}+（2-a）x，x＞a}\end{array}\right.$，
則當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=x²+（2-a）x，對(duì)稱軸x=$\frac{a-2}{2}$＜a，
則f（x）在x∈（a，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋╢（a），+∞）=（2a，+∞），
x≤a時(shí)，f（x）=-x²+（2+a）x，對(duì)稱軸x=$\frac{a+2}{2}$＜a，
則f（x）在x∈（-∞，$\frac{a+2}{2}$]為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?∞，$\frac{（a+2）^{2}}{4}$]，f（x）在[$\frac{a+2}{2}$，a]為減函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇2a，$\frac{（a+2）^{2}}{4}$]；
∵存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，
∴2ta∈（2a，$\frac{（a+2）^{2}}{4}$），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，$\frac{（a+2）^{2}}{8a}$）即可，
令g（a）=$\frac{（a+2）^{2}}{8a}$=$\frac{1}{8}$（a+$\frac{4}{a}$+4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數(shù)，
∴（g（a））_max=g（4）=$\frac{9}{8}$，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，$\frac{9}{8}$）；
同理可求當(dāng)a∈[-4，-2）時(shí)，t的取值范圍為（1，$\frac{9}{8}$）；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，$\frac{9}{8}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題，屬于中檔題．