Question

【題目】如圖：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且PA=AB=2．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱錐N﹣AMC的體積；
（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M為BC中點，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
（II）∵
又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1
∴三棱錐N﹣AMC的體積 S△AMCAN
=
（III）存在點E，
取PD中點E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點，
∴
又在菱形ABCD中，
∴ ，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC平面ACE，NM平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點E，使得NM∥平面ACE，
此時 ．

【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系；棱柱、棱錐、棱臺的體積
【解析】【分析】（I）要證線與面垂直，只要證明線與面上的兩條相交線垂直，找面上的兩條線，根據(jù)四邊形是一個菱形，從菱形出發(fā)找到一條，再從PA⊥平面ABCD，得到結論．（II）要求三棱錐的體積，首先根據(jù)所給的體積確定用哪一個面做底面，會使得計算簡單一些，選擇三角形AMC，做出底面面積，利用體積公式得到結果．（III）對于這種是否存在的問題，首先要觀察出結論，再進行證明，根據(jù)線面平行的判定定理，利用中位線確定線與線平行，得到結論．
【解析】（I）設圓心M（a，0），利用M到l：8x﹣6y﹣3=0的距離，求出M坐標，然后求圓M的方程；（II）設A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），設AC斜率為k1 ， BC斜率為k2 ， 推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值和最小值．