Question

8．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為-4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），若過D和B兩點(diǎn)的直線交拋物線C的準(zhǔn)線于P點(diǎn)，求證：直線AP與x軸交于一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，聯(lián)立方程組，根據(jù)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為-4，即可求出p的值，
（2）表示出直線BD的方程可表示為，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①，拋物線C的準(zhǔn)線方程為，x=-1②，構(gòu)成方程組，解得P的坐標(biāo)，求出直線AP的斜率，得到直線AP的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$
與拋物線的方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=my+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得y²-2mpy-p²=0，
∴y₁•y₂=-p²=-4，
解得p=±2，
∵p＞0，
∴p=2，

（2）依題意，直線BD與x軸不垂直，∴x₂=4．
∴直線BD的方程可表示為，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①
∵拋物線C的準(zhǔn)線方程為，x=-1②
由①，②聯(lián)立方程組可求得P的坐標(biāo)為（-1，-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$）
由（1）可得y₁y₂=-4，
∴P的坐標(biāo)可化為（-1，$\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}$），
∴k_AP=$\frac{\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}-{y}_{1}}{-1-{x}_{1}}$=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$，
∴直線AP的方程為y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}{y}_{1}^{2}$-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$
∴直線AP與x軸交于定點(diǎn)（$\frac{1}{4}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．