Question

20．已知α是三角形的最大內(nèi)角，且cos2α=$\frac{1}{2}$，則$\frac{1-tanα}{1+tanα}$的值為（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 3-$\sqrt{3}$
• D． 3+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 法1：由題意可得$\frac{π}{3}$＜α＜π，可求2α的范圍，結(jié)合cos2α=$\frac{1}{2}$＞0，可解得范圍$\frac{3π}{4}$＜α＜π，由二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tan²α=$\frac{1}{3}$，即可解得tanα的值，即可計(jì)算求$\frac{1-tanα}{1+tanα}$的值．
法2：由二倍角的余弦函數(shù)公式可求sinα=$\frac{1}{2}$，結(jié)合α為最大內(nèi)角，可得：α=$\frac{5π}{6}$，可求tanα，即可得解．

解答 解：法1：∵α是三角形的最大內(nèi)角，
∴$\frac{π}{3}$＜α＜π，$\frac{2π}{3}$＜2α＜2π，
∵cos2α=$\frac{1}{2}$＞0，
∴$\frac{3π}{2}$＜2α＜2π，解得：$\frac{3π}{4}$＜α＜π，
∴tanα＜0，
∵cos2α=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{2}$，解得：tan²α=$\frac{1}{3}$，即：tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1-tanα}{1+tanα}$=$\frac{1-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}$=2$+\sqrt{3}$．
法2：∵α為三角形內(nèi)角，且cos2a=$\frac{1}{2}$，
∴1-2sin²α=$\frac{1}{2}$，可得：sinα=$\frac{1}{2}$，
∵α為最大內(nèi)角，可得：α=$\frac{5π}{6}$，
∴tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1-tanα}{1+tanα}$=$\frac{1-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}$=2$+\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．