Question

12．已知F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)，過F，A的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸左側(cè)的交點(diǎn)為B，若$\overrightarrow{FA}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AB}$，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），A（0，-b），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，求出AF的方程與y=$\frac{a}$x聯(lián)立可得B（$\frac{ac}{a-c}$，$\frac{bc}{a-c}$），利用$\overrightarrow{FA}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AB}$，可得a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)F（c，0），A（0，-b），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則
直線AF的方程為$\frac{x}{c}-\frac{y}$=1，與y=$\frac{a}$x聯(lián)立可得B（$\frac{ac}{a-c}$，$\frac{bc}{a-c}$），
∵$\overrightarrow{FA}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AB}$，
∴（-c，-b）=（$\sqrt{2}$-1）（$\frac{ac}{a-c}$，$\frac{bc}{a-c}$+b），
∴-c=（$\sqrt{2}$-1）$\frac{ac}{a-c}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．