Question

1．已知P、A、B、C是球O球面上的四點，△ABC是正三角形，三棱錐P-ABC的體積為$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，則球O的表面積為16π．

Answer 1

分析 設△ABC的中心為S，球O的半徑為R，△ABC的邊長為2a，由已知條件推導出a=$\frac{3}{4}$R，再由三棱錐P-ABC的體積為$\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$，求出R=2，由此能求出球O的表面積．

解答 解：如圖，P，A，B，C是球O球面上四點，△ABC是正三角形，
設△ABC的中心為S，球O的半徑為R，△ABC的邊長為2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=$\frac{R}{2}$，BS=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，解得a=$\frac{3}{4}$R，2a=$\frac{3}{2}$R，
∵三棱錐P-ABC的體積為$\frac{9}{4}\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}R×\frac{3}{2}Rsin60°×\frac{3}{2}R$=$\frac{9}{4}\sqrt{3}$，
解得R=2，
∴球O的表面積S=4πR²=16π．
故答案為：16π．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時確定球O的半徑是關鍵．