Question

14．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y≤3}\end{array}\right.$，若不等式$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$≥a恒成立，則實數(shù)a的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{25}{13}$
• D． 2

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，求出$\frac{y}{x}$的范圍，由$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$=$1+\frac{2\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{y}{x}}}$，求出其范圍，可得使不等式$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$≥a恒成立的實數(shù)a的最大值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y≤3}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

∵$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}=1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$1+\frac{2\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$1+\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{1}{\frac{y}{x}}}$，
設(shè)z=$\frac{y}{x}$，
由圖可知，1$＜z＜\frac{3}{2}$，
∴z$+\frac{1}{z}$∈（2，$\frac{13}{6}$），則$\frac{2}{z+\frac{1}{z}}∈（\frac{12}{13}，1）$，
∴$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$∈（$\frac{25}{13}，2$）．
∵不等式$\frac{（x+y）^2}{x^2+y^2}$≥a恒成立，
∴$a≤\frac{25}{13}$．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了恒成立問題的求法，是中檔題．