Question

4．已知f（x）=x³+ln$\frac{1+x}{1-x}$，且f（3a-2）+f（a-1）＜0，則實數a的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 根據條件先求出函數的定義域，判斷函數的奇偶性和單調性，將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：由$\frac{1+x}{1-x}$＞0，得-1＜x＜1，即函數的定義域為（-1，1），
f（x）=x³+ln$\frac{1+x}{1-x}$=x³+ln（x+1）-ln（1-x），則函數f（x）為增函數，
∵f（-x）=-x³+ln（-x+1）-ln（1+x）=-[x³+ln（x+1）-ln（1-x）]=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數，
則不等式f（3a-2）+f（a-1）＜0等價為f（3a-2）＜-f（a-1）=f（1-a），
則不等式等價為$\left\{\begin{array}{l}{-1＜3a-2＜1}\\{-1＜a-1＜1}\\{3a-2＜1-a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}＜a＜1}\\{0＜a＜2}\\{a＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{3}{4}$，
故答案為：（$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$）

點評 本題主要考查不等式的求解，根據條件求出函數的定義域，判斷函數的奇偶性和單調性是解決本題的關鍵．