Question

3．2015年9月3日，抗戰(zhàn)勝利70周年紀念活動在北京隆重舉行，受到全國人民的矚目．紀念活動包括舉行紀念大會、閱兵式、招待會和文藝晚會等，據(jù)統(tǒng)計，抗戰(zhàn)老兵由于身體原因，參加紀念大會、閱兵式、招待會這三個環(huán)節(jié)（可參加多個，也可都不參加）的情況及其概率如表所示：

參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)	0	1	2	3
概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

（Ⅰ）若從抗戰(zhàn)老兵中隨機抽取2人進行座談，求這2人參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；
（Ⅱ）某醫(yī)療部門決定從這些抗戰(zhàn)老兵中（其中參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)為3的抗戰(zhàn)老兵數(shù)大于等于3）隨機抽取3名進行體檢，設隨機抽取的這3名抗戰(zhàn)老兵中參加三個環(huán)節(jié)的有ξ名，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件$\overline{M}$，由此能求出這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率．
（Ⅱ）根據(jù)題意可知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）設“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，
則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件$\overline{M}$，
根據(jù)題意可知P（$\overline{M}$）=$（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{6}）^{2}+（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{5}{18}$，（3分）
由對立事件的概率計算公式可得$P（M）=1-P（{\bar M}）=\frac{13}{18}$，
故這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率為$\frac{13}{18}$．（6分）
（Ⅱ）根據(jù)題意可知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，
$P（{ξ=0}）={（{1-\frac{1}{6}}）^3}=\frac{125}{216}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（1-\frac{1}{6}）^{2}•\frac{1}{6}$=$\frac{25}{72}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（1-\frac{1}{6}）（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{5}{72}$，
P（ξ=3）=（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{1}{216}$，（10分）
則隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{1}{216}$

則數(shù)學期望$E（ξ）=0×\frac{125}{216}+1×\frac{25}{72}+2×\frac{5}{72}+3×\frac{1}{216}=\frac{1}{2}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．