Question

3．2015年9月3日，抗戰(zhàn)勝利70周年紀(jì)念活動(dòng)在北京隆重舉行，受到全國(guó)人民的矚目．紀(jì)念活動(dòng)包括舉行紀(jì)念大會(huì)、閱兵式、招待會(huì)和文藝晚會(huì)等，據(jù)統(tǒng)計(jì)，抗戰(zhàn)老兵由于身體原因，參加紀(jì)念大會(huì)、閱兵式、招待會(huì)這三個(gè)環(huán)節(jié)（可參加多個(gè)，也可都不參加）的情況及其概率如表所示：

參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)	0	1	2	3
概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

（Ⅰ）若從抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求這2人參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；
（Ⅱ）某醫(yī)療部門(mén)決定從這些抗戰(zhàn)老兵中（其中參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)為3的抗戰(zhàn)老兵數(shù)大于等于3）隨機(jī)抽取3名進(jìn)行體檢，設(shè)隨機(jī)抽取的這3名抗戰(zhàn)老兵中參加三個(gè)環(huán)節(jié)的有ξ名，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件$\overline{M}$，由此能求出這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率．
（Ⅱ）根據(jù)題意可知隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，
則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件$\overline{M}$，
根據(jù)題意可知P（$\overline{M}$）=$（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{6}）^{2}+（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{5}{18}$，（3分）
由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得$P（M）=1-P（{\bar M}）=\frac{13}{18}$，
故這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀(jì)念活動(dòng)的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率為$\frac{13}{18}$．（6分）
（Ⅱ）根據(jù)題意可知隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，
$P（{ξ=0}）={（{1-\frac{1}{6}}）^3}=\frac{125}{216}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（1-\frac{1}{6}）^{2}•\frac{1}{6}$=$\frac{25}{72}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（1-\frac{1}{6}）（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{5}{72}$，
P（ξ=3）=（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{1}{216}$，（10分）
則隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{1}{216}$

則數(shù)學(xué)期望$E（ξ）=0×\frac{125}{216}+1×\frac{25}{72}+2×\frac{5}{72}+3×\frac{1}{216}=\frac{1}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．