Question

13．公差為d的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），已知S₅=a${\;}_{3}^{2}$，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）當d≠0時，數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}+2n}$}的前n項和為T_n，試比較T_n與$\frac{3}{4}$的大小．

Answer 1

分析 （1）通過等差中項的性質(zhì)及S₅=a${\;}_{3}^{2}$可知a₃=5，結(jié)合a₂，a₃，a₁₄成等比數(shù)列可知d=0或d=2，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）及d≠0可知a_n=2n-1，進而裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{3}={{a}_{3}}^{2}}\\{（{a}_{3}+2d）^{2}=（{a}_{3}-d）（{a}_{3}+11d）}\end{array}\right.$，$\underset{\stackrel{①}{\;}}{②}$
由①解得：a₃=0（舍）或a₃=5，
將a₃=5代入②得d=0或d=2，
當d=0時a_n=5，當d=2時a_n=2n-1；
（2）由（1）及d≠0可知a_n=2n-1，
∵$\frac{1}{{S}_{n}+2n}$=$\frac{1}{\frac{n（1+2n-1）}{2}+2n}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）
＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．