Question

1．已知線段AB過點(diǎn)M（m，0）（m＞0），點(diǎn)A、B到x軸的距離之積為4m，拋物線C以x軸為對稱軸且經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若m=4，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，設(shè)拋物線C的方程為：y²=2px（p＞0），直線AB的方程為ty+m=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出．
（2）由（1）可得：直線AB的方程為ty+4=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，只要證明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0即可．

解答 （1）解：如圖所示，
設(shè)拋物線C的方程為：y²=2px（p＞0），直線AB的方程為ty+m=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty+m=x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化為y²-2pty-2pm=0，
∴y₁y₂=-2pm，
∴|-2pm|=4m，m＞0，p＞0，解得p=2．
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）證明：由（1）可得：直線AB的方程為ty+4=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty+4=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為y²-4ty-16=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-16．
x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16=-16（t²+1）+16t²+16=0，
∴OA⊥OB．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．