Question

9．如圖所示，平面ABC⊥平面BCD，△ABC為正三角形，且AB=2，BC⊥CD，點(diǎn)E為棱AC的中心．
（1）求證：平面ACD⊥平面BED；
（2）若直線AD與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AB=3AP，試求二面角P-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先利用題中所給的平面與平面垂直以及直線與直線垂直，判斷得到直線與平面垂直，然后利用平面與平面垂直的判定定理證明面面垂直；
（2）利用給定的直線與平面所成的角，計(jì)算得到棱CD的長，并依據(jù)圖形建立空間直角坐標(biāo)系，利用相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算得到相應(yīng)平面的法向量，然后利用法向量求二面角的余弦值．

解答 證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E為棱AC的中點(diǎn)，△ABC為正三角形，
所以BE⊥AC．
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，BC⊥CD，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以CD⊥平面ABC．
因?yàn)锽E?平面ABC，所以CD⊥BE．
又AC∩CD=C，所以BE⊥平面ACD．
又BE?平面BED，所以平面BED⊥平面ACD．
解：（2）過點(diǎn)A作AO⊥BC，交BC于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)．
連接OD，
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以AO⊥平面BCD，
所以∠ADO為直線AD與平面BCD所成的角．
在Rt△AOD中，AO=$\sqrt{3}$，所以sin∠ADO=$\frac{AO}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以AD=4．
在△ACD中，AC⊥CD，AC=2，所以CD=2$\sqrt{3}$．
以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則A（1，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（0，2$\sqrt{3}$，0），B（2，0，0），
所以$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，-2$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
因?yàn)?\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AP}$，所以P（$\frac{4}{3}$，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{DP}$=（$\frac{4}{3}$，-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
設(shè)平面BED的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}x-2\sqrt{3}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則x=$\sqrt{3}$，z=3，
所以$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，3）為平面BED的一個法向量．
設(shè)平面PED的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}a-2\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=\frac{4}{3}a-2\sqrt{3}b+\frac{2\sqrt{3}}{3}c=0}\end{array}\right.$，令b=1，則a=-$\sqrt{3}$，c=5，
得平面PED的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，5）．
設(shè)二面角P-DE-B的大小為θ，由圖易知二面角P-DE-B為銳角，
則cos θ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3+1+15|}{\sqrt{13}•\sqrt{29}}$=$\frac{\sqrt{377}}{29}$，
即二面角P-DE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{377}}{29}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間平面與平面垂直的證明以及直線與平面、平面與平面所成角的求解，立體幾何試題每年都考，難度中等偏上，常�？疾橛嘘P(guān)線面平行、垂直的證明以及線面角和二面角的相關(guān)計(jì)算，從近幾年的考情來看，有關(guān)線面平行、垂直的證明以幾何推理為主，而空間角的計(jì)算則較多的考查利用空間向量法求解．