Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，并且sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$．
（1）判斷△ABC的形狀并加以證明；
（2）當(dāng)c=1時(shí)，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用二倍角的余弦函數(shù)以及余弦定理化簡求解即可判斷三角形的形狀．
（2）利用已知條件結(jié)合基本不等式求出三角形的周長的最大值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閟in²$\frac{A}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$=$\frac{1-cosA}{2}$，即$\frac{c}$=cosA，由余弦定理可得$\frac{c}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
可得a²+b²=c²，所以三角形是直角三角形．
（2）∵2ab≤a²+b²，∴（a+b）²≤2（a²+b²）
又∵c=1，a²+b²=c²，
∴a+b+c≤$\sqrt{2{a}^{2}+2^{2}}+1$=1+$\sqrt{2{c}^{2}}$=1+$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取等號(hào)．
△ABC周長的最大值為：1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判斷，余弦定理以及二倍角公式的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．