Question

13．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=8x焦點相同，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點M（m，0）在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點．當|$\overrightarrow{MP}$|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點，可得c=2，由離心率公式可得a=4，再由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設P（x，y）為橢圓上的動點，求得向量MP的坐標，再由模的公式，及二次函數(shù)的最值的求法，可得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線y²=8x焦點為（2，0），得c=2，
由$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，
則b²=a²-c²=12，所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；
（Ⅱ）設P（x，y）為橢圓上的動點，由于橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，故-4≤x≤4．
因為$\overrightarrow{MP}=（x-m，y）$，
所以$|\overrightarrow{MP}{|^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+12（1-\frac{x^2}{16}）$
=$\frac{x^2}{4}-2mx+{m^2}+12=\frac{1}{4}{（x-4m）^2}+12-3{m^2}$
因為當$|\overrightarrow{MP}|$最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，
即當x=4m時，$|\overrightarrow{MP}{|^2}$取得最小值，
而-4≤x≤4，故有4m≥4，解得m≥1，
又點M在橢圓C的長軸上，即-4≤m≤4，
故實數(shù)m的取值范圍為1≤m≤4．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用拋物線的焦點和橢圓的離心率公式，考查向量的模的公式和二次函數(shù)的思想，考查運算能力，屬于中檔題．