Question

在各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n＝(a_n＋)．

(1)求a₁，a₂，a₃；

(2)由(1)猜想到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

解：(1)S₁＝a₁＝(a₁＋)，得a＝1，

∵a_n>0，∴a₁＝1.

S₂＝a₁＋a₂＝(a₂＋)，得a＋2a₂－1＝0，

∴a₂＝－1，S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝(a₃＋)．

得a＋2a₃－1＝0，∴a₃＝－.

(2)猜想a_n＝－ (n∈N^*)．

證明如下：①n＝1時(shí)，a₁＝－命題成立；

②假設(shè)n＝k時(shí)，a_k＝－成立，

則n＝k＋1時(shí)，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k

∴a＋2a_k＋1－1＝0.∴a_k＋1＝－.

即n＝k＋1時(shí)，命題成立．…

由①②知，n∈N^*，a_n＝－.