Question

14．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，且f（a₂-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（a₂₀₁₄-2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則S₂₀₁₅=4030．

Answer 1

分析 f（x）在R上為奇函數(shù)，從而得到a₂+a₄=4，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)能求出S₂₀₁₅．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴$f（-x）=\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
∴f（x）在R上為奇函數(shù)，
∵f（a₂-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（a₂₀₁₄-2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a₂-2=-（a₂₀₁₄-2），即a₂+a₂₀₁₄=4，
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2}（{a}_{1}+{a}_{2015}）$=$\frac{2015}{2}（{a}_{2}+{a}_{2014}）$=4030．
故答案為：4030．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列前2015項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意函數(shù)的奇偶性和等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．