Question

13．已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）在x軸、y軸上截距相等的直線l不過(guò)原點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且MP=OP，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心與半徑，設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切求解即可．
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用垂直條件列出方程，求解即可．

解答 解：（1）C：（x+1）²+（y-2）²=2，顯然圓心C（-1，2），半徑r=$\sqrt{2}$．
∵不過(guò)原點(diǎn)的直線l在x軸、y軸上截距相等
∴不妨設(shè)l：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$ 即x+y-a=0
又直線l與圓C相切∴$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=3或-1
∴l(xiāng)：x+y-3=0或x+y+1=0
（2）由題如圖，PM與圓C相切于M，∴PM⊥CM
設(shè)P（x，y），由MP=OP得：OP²=MP²=CP²-r²
∴x²+y²=（x+1）²+（y-2）²-2
整理得：2x-4y+3=0即為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，圓的方程的求法與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．