【題目】已知橢圓及點(diǎn),若直線與橢圓交于點(diǎn),且( 為坐標(biāo)原點(diǎn)),橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn),求面積的最大值.
【答案】(1) ;(2)1.
【解析】試題分析: 由橢圓的離心率公式得到,設(shè)點(diǎn)在第一象限,由橢圓的對(duì)稱性可知,所以,進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo),然后聯(lián)立方程求得,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程,求得或,設(shè),求出的值,又由題意得, 到直線的距離,進(jìn)而求得面積的最大值
解析:(1)由橢圓的離心率為,得,所以.
設(shè)點(diǎn)在第一象限,由橢圓的對(duì)稱性可知,所以,
因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,
代入橢圓的方程得,與聯(lián)立,
可得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)直線的方程為,由得.
由題意得, ,
整理得,所以或.
設(shè),則,
所以
.
又由題意得, 到直線的距離.
的面積
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),且此時(shí)滿足,
所以面積的最大值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末考試第16題) “中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年,英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”. “中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題,現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題:將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列,則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1,在其定義域內(nèi)都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.
(1) 判斷函數(shù)g(x)=2x是否為“依賴函數(shù)”,并說明理由;
(2) 若函數(shù)f(x)=(x–1)2在定義域[m,n](m>1)上為“依賴函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m、n乘積mn的取值范圍;
(3) 已知函數(shù)f(x)=(x–a)2 (a<)在定義域[,4]上為“依賴函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù)x[,4],使得對(duì)任意的tR,有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立,求實(shí)數(shù)s的最大值.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求的值;
(3)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的值.
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【題目】已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)F(2,0),且與直線x=-2相切,圓心C的軌跡為E,
(1)求圓心C的軌跡E的方程;
(2)若直線l交E與P,Q兩點(diǎn),且線段PQ的中心點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),求|PQ|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人同時(shí)從A地趕往B地,甲先騎自行車到中點(diǎn)改為跑步,而乙則是先跑步,到中點(diǎn)后改為騎自行車,最后兩人同時(shí)到達(dá)B地.已知甲騎自行車比乙騎自行車快.若每人離開甲地的距離與所用時(shí)間的函數(shù)用圖象表示,則甲、乙對(duì)應(yīng)的圖象分別是
A.甲是(1),乙是(2)B.甲是(1),乙是(4)
C.甲是(3),乙是(2)D.甲是(3),乙是(4)
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【題目】若函數(shù)具備以下兩個(gè)條件:(1)至少有一條對(duì)稱軸或一個(gè)對(duì)稱中心;(2)至少有兩個(gè)零點(diǎn),則稱這樣的函數(shù)為“多元素”函數(shù),下列函數(shù)中為“多元素”函數(shù)的是_______.
①;②;③;④.
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【題目】下列語句是否為命題?如果是,判斷它的真假.
(1)這道數(shù)學(xué)題有趣嗎?(2)0不可能不是自然數(shù);(3);(4);
(5)91不是素?cái)?shù);(6)上海的空氣質(zhì)量越來越好.
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【題目】“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2018年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),檢測結(jié)果如頻率分布直方圖所示.
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)①由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;
②若,則, .
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