Question

7．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時，求CF的長度．

Answer 1

分析 （I）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性質得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；
（II）以O為原點建立坐標系，設CF=a，求出$\overrightarrow{OF}$和平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即可求出a的值．

解答 證明：（I）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC．
∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥AE，又AC?平面ACFE，AE?平面ACFE，AC∩AE=A，
∴BD⊥平面ACFE．
（Ⅱ）以O為原點，以OA，OB為x軸，y軸，過O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系．
則B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，-$\sqrt{3}$，0），E（1，0，2），設CF=a，則F（-1，0，a）．
∴$\overrightarrow{OF}$=（-1，0，a），$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EB}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2）．
設平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OF}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{OF}|}$=$\frac{2+a}{\sqrt{5}\sqrt{{a}^{2}+1}}$．
∵直線FO與平面BED所成角的大小為45°，∴$\frac{2+a}{\sqrt{5}\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得a=3或a=-$\frac{1}{3}$（舍）．
∴|CF|=3．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．