Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$+a（a∈R）為奇函數(shù)
（1）求a的值；
（2）當0≤x≤1時，關(guān)于x的方程f（x）+1=t有解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）當0≤x≤1時，化簡方程f（x）+1=t，即可得到結(jié)論．，

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），
∴若f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$+a（a∈R）為奇函數(shù)，
則f（0）=0，
即f（0）=$\frac{2}{1+1}$+a=1+a=0，
解得a=-1；
（2）∵a=-1，
∴f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-1，
若當0≤x≤1時，關(guān)于x的方程f（x）+1=t有解，
即$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-1+1=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$=t，
即t=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，
當0≤x≤1時，1≤3^x≤3，
則2≤1+3^x≤4，
$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{{3}^{x}+1}$≤$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤$\frac{2}{{3}^{x}+1}$≤1
即實數(shù)t的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤t≤1．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及方程解的應用，利用f（0）=0是解決本題的關(guān)鍵．