Question

15．如圖所示，在△ABC中，AD∩CE=F，AD⊥EG，且F為△ABC的內(nèi)心．
（1）若B、D、F、E四點(diǎn)共圓，求∠B的大小；
（2）在（1）的條件下，求證：CE平分∠DEG．

Answer 1

分析 （1）利用F為△ABC的內(nèi)心，可得∠AFE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），利用B、D、F、E四點(diǎn)共圓，可得∠AFE=∠B=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），即可求∠B的大��；
（2）在（1）的條件下，證明∠FED=∠FEG，即可證明CE平分∠DEG．

解答 （1）解：∵F為△ABC的內(nèi)心，
∴∠AFE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），
∵B、D、F、E四點(diǎn)共圓，
∴∠AFE=∠B=$\frac{1}{2}$（∠A+∠C），
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=60°；
（2）解：連接BF，
∵F為△ABC的內(nèi)心，
∴∠EBF=∠DBF，
∵B、D、F、E四點(diǎn)共圓，
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{DF}$，
∴EF=DF，
∴∠FED=∠FDE，
∵AD⊥EG，
∴∠GEF=30°，
∴∠FED=∠FEG=30°，
∴CE平分∠DEG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．