Question

4．某同學對函數(shù)f（x）=xsinx進行研究后，得到以下結論：
①函數(shù)f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②存在實數(shù)x，使得|f（x）|＞|x|成立；
③函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點距離相等；
④當常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有且僅有一個公共點．
其中所有正確結論的序號是①④．

Answer 1

分析 ①易知f（-x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)，從而可判斷①的正誤；
②由|sinx|≤1即可判斷②的正誤；
③當x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）或x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，sinx=1或-1，可判斷故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，但任意相鄰兩點的距離相等不相等，從而可判斷③的正誤；
④當常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點為（0，0），從而可得答案

解答 解：①∵f（-x）=-xsin（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱，即y=f（x）的圖象是軸對稱圖形，故①正確；
②∵|sinx|≤1，
∴對任意實數(shù)x，|f（x）|≤|x|均成立，故②錯誤；
③當x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）或x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，sinx=1或-1，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，但任意相鄰兩點的距離不相等（任意相鄰兩點的橫坐標距離相等），故③錯誤；
④∵|f（x）|≤|x|，
∴當常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點（0，0），故④正確；
綜上所述，所有正確結論的序號是①④，
故答案為：①④．

點評 本題考查三角函數(shù)的基本性質，牢記基本知識，基本性質是解好數(shù)學題目的關鍵，屬于中檔題．