Question

9．如圖，四邊形EFGH為四面體A-BCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，
（1）求證：AB∥平面EFGH；
（2）若AB⊥CD，求證：四邊形EFGH為矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形性質(zhì)得EF∥HG，從而EF∥平面ABD，進(jìn)而EF∥AB，由此能證明AB∥平面EFGH．
（2）推導(dǎo)出CD∥EH，從而∠FEH即是AB和CD所成角，由此能證明平行四邊形EFGH為矩形．

解答 證明：（1）∵EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG，（1分）
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD
∴EF∥平面ABD．（3分）
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB．
∴EF∥AB，（5分）
EF?平面EFGH，AB?平面EFGH∴AB∥平面EFGH．（6分）
（2）同理可證：CD∥EH，（7分）
∴∠FEH即是AB和CD所成角 （8分）
∵AB⊥CD，∴∠FEH=90°（9分）
∴平行四邊形EFGH為矩形．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查平行四邊形為矩形的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．