Question

15．已知圓C：（x-a）²+（y-a）²=1（a＞0）與直線y=2x相交于P、Q兩點，則當△CPQ的面積最大時，實數(shù)a的值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 求出圓的圓心坐標與半徑，利用圓心到直線的距離與半弦長求解三角形的面積，然后求出最大值即可．

解答 解：圓C：（x-a）²+（y-a）²=1（a＞0）的圓心（a，a）半徑為1，
圓心到直線y=2x的距離d=$\frac{|2a-a|}{\sqrt{5}}$=$\frac{a}{\sqrt{5}}$，半弦長為：$\sqrt{1{-（\frac{a}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$\sqrt{{1-\frac{a}{5}}^{2}}$，
∴△CPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{{1-\frac{a}{5}}^{2}}$•$\frac{a}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{（1-\frac{{a}^{2}}{5}）•\frac{{a}^{2}}{5}}$，故當$\frac{{a}^{2}}{5}$=$\frac{1}{2}$，即a=$\sqrt{\frac{5}{2}}$$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，S取得最大值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形面積的最值的求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用等知識，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．