Question

9．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1，S_n=$\frac{n}{n-1}$S_n-1+n （n≥2，n∈N₊），求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 S_n=$\frac{n}{n-1}$S_n-1+n （n≥2，n∈N₊），變形$\frac{{S}_{n}}{n}-\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出S_n．再利用遞推關(guān)系即可得出a_n．

解答 解：∵S_n=$\frac{n}{n-1}$S_n-1+n （n≥2，n∈N₊），
∴$\frac{{S}_{n}}{n}-\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，
解得S_n=n²．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴a_n=2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．