Question

10．甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號召，決定購置某品牌空調(diào)各一臺．經(jīng)了解，目前市場上銷售此品牌空調(diào)有A，B，C三種型號，甲從A，B，C三類型號中挑選，乙從B，C兩種型號中挑選，甲、乙二人選擇各類車型的概率如下表：

	A	B	C
甲	$\frac{1}{5}$	p	q
乙		$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$

若甲、乙都選C型號的概率為$\frac{3}{10}$．
（1）求p，q的值；
（2）某市對購買此品牌空調(diào)進行補貼，補貼標準如下表：

型號	A	B	C
補貼金額（百元/臺）	3	4	5

記甲、乙兩人購空調(diào)所獲得財政補貼的和為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）仔細閱讀表格得出方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{4}q=\frac{3}{10}\\ p+q+\frac{1}{5}=1\end{array}\right.$，求解即可．
（2）確定隨機變量X可能取值為7，8，9，10．求解相應(yīng)的概率，列出分布列，再運用數(shù)學(xué)期望公式求解即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{4}q=\frac{3}{10}\\ p+q+\frac{1}{5}=1\end{array}\right.$所以$p=\frac{2}{5}，q=\frac{2}{5}$．
（2）X可能取值為7，8，9，10．
$P（X=7）=\frac{1}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$，$P（X=8）=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}+\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，$P（X=9）=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}+\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{2}{5}$；  $P（X=10）=\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$．
所以X的分布列為：

X	7	8	9	10
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$

所以$EX=7×\frac{1}{20}+8×\frac{1}{4}+9×\frac{2}{5}+10×\frac{3}{10}=8.95$．

點評 考察了圖表格的運用，分析能力，計算化簡能力，屬于難題，關(guān)鍵是掌握好隨機變量的概率的關(guān)系，列出方程組．