Question

5．在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄與b₂，b₃，b₄的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式（不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程組，根據(jù)a₁=2，b₁=4依次求出a₂，a₃，a₄與b₂，b₃，b₄的值；
（2）由（1）求出各個項(xiàng)的值，變形后觀察出與n的規(guī)律，猜想數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{2_{n}={a}_{n}{a}_{n+1}}\\{{{a}_{n+1}}^{2}=_{n}_{n+1}}\end{array}\right.$，
∵a₁=2，b₁=4，
當(dāng)n=1時，$\left\{\begin{array}{l}{2_{1}={a}_{1}{a}_{2}}\\{{{a}_{2}}^{2}=_{1}_{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=6}\\{_{2}=9}\end{array}\right.$，
同理可得，$\left\{\begin{array}{l}{2_{2}={a}_{2}{a}_{3}}\\{{{a}_{3}}^{2}=_{2}_{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=12}\\{_{3}=16}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{2_{3}={a}_{3}{a}_{4}}\\{{{a}_{4}}^{2}=_{3}_{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=20}\\{_{4}=25}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可得，a₁=2=1×2、b₁=4，a₂=6=2×3、b₂=9，a₃=12=3×4、b₃=16，
a₄=20=4×5、b₄=25，…，
∴猜想a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．

點(diǎn)評 本題考查歸納推理，以及等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)，難點(diǎn)是根據(jù)能夠找出數(shù)之間的內(nèi)在規(guī)律，考查觀察、分析、歸納的能力，是基礎(chǔ)題．