Question

4．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
（1）求證：直線l過定點A（3，1），且直線l與圓C 相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時的方程．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標(biāo)代入直線l的方程，得出方程成立即可證明l過定點A；再由|AC|＜r，證明直線l與圓C相交；
（2）由平面幾何的知識得l被圓C截得最短的弦是與直徑AC垂直的弦，由此求出直線l的方程．

解答 解：（1）證明：將點A（3，1）代入直線l的方程，
得左邊=3（2m+1）+（m+1）=7m+4=右邊，
所以直線l過定點A；
又|AC|=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5，
所以點A在圓C內(nèi)，
所以對任意的實數(shù)m，直線l與圓C恒相交；
（2）由平面幾何的知識可得，
l被圓C截得最短的弦是與直徑AC垂直的弦，
因為k_AC=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
所以直線l的斜率為k_l=2，
所以直線l的方程為y-1=2（x-3），
即2x-y-5=0為直線l被圓C截得的弦長最短時的方程．

點評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了直線過定點的應(yīng)用問題以及兩點間的距離公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．