Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB+BC=4．BB₁=3，∠ABC=90°．當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時(shí)．其外接球球的表面積為（　　）

• A． $\frac{17\sqrt{17}}{6}π$
• B． 17π
• C． $\frac{17π}{2}$
• D． $\frac{17π}{4}$

Answer 1

分析 求出AB=BC=2，（S_△ABC）_max=2，此時(shí)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大，將直三棱柱擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球球的表面積為．

解答 解：∵AB+BC=4，∴AB•BC≤$（\frac{AB+BC}{2}）^{2}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=2時(shí)，取等號(hào)，
∵∠ABC=90°，
∴（S_△ABC）_max=2，此時(shí)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大，
將直三棱柱擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線為其外接球的直徑，長(zhǎng)度為$\sqrt{4+4+9}$=$\sqrt{17}$，
∴其外接球的半徑為$\frac{\sqrt{17}}{2}$，表面積為4$π•\frac{17}{4}$=17π．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查外接球球的表面積，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．