Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)$（-5，-\frac{15}{4}）$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點(diǎn)$（-5，-\frac{15}{4}）$在拋物線的準(zhǔn)線上，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得p=10，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c的值由點(diǎn)（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，可得漸近線方程，進(jìn)而可得b的值，由雙曲線的性質(zhì)，可得a，b，進(jìn)而可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（-5，-\frac{15}{4}）$，
即點(diǎn)$（-5，-\frac{15}{4}）$在拋物線的準(zhǔn)線上，則p=10，
則拋物線的焦點(diǎn)為（5，0）；
因?yàn)殡p曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有相同的焦點(diǎn)，
所以c=5，
因?yàn)辄c(diǎn)$（-5，-\frac{15}{4}）$在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，
所以a=4，b=3
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線與拋物線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為$（-5，-\frac{15}{4}）$”這一條件的運(yùn)用是關(guān)鍵．