Question

19．在直角坐標平面上有一點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對每個正整數(shù)n，點P_n位于函數(shù)y=3x+$\frac{13}{4}$的圖象上，且P_n的橫坐標構成以-$\frac{5}{2}$為首項，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}．
（1）求點P_n的坐標；
（2）設拋物線列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線C_n的頂點為P_n且過點D_n（0，n²+1），記過點D_n且與拋物線C_n相切的直線
的斜率為k_n，求證：$\frac{1}{k{{{\;}_{1}k}_{2}}_{\;}}$+$\frac{1}{{k}_{2}{k}_{3}}$+…+$\frac{1}{{{k}_{n-1}}_{\;}{k}_{n}}$＜$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 （1）寫出等差數(shù)列{x_n}的通項公式，利用P_n（x_n，y_n）位于函數(shù)$y=3x+\frac{13}{4}$的圖象上，即可求解點P_n的坐標．
（2）設拋物線C_n的方程為：$y=a{（x-{x_n}）^2}+{y_n}$，利用導數(shù)求出過點D_n且與拋物線C_n相切的直線方程，化簡$\frac{1}{{{k}_{n-1}}_{\;}{k}_{n}}$，利用列項求和求解即可．

解答 解：（1）∵P_n的橫坐標構成以$-\frac{5}{2}$為首項，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}，
∴${x_n}={x_1}+（n-1）d=-\frac{5}{2}-（n-1）=-n-\frac{3}{2}$，---------------------------------（2分）
∵P_n（x_n，y_n）位于函數(shù)$y=3x+\frac{13}{4}$的圖象上，
∴${y_n}=3{x_n}+\frac{13}{4}=3（-n-\frac{3}{2}）+\frac{13}{4}=-3n-\frac{5}{4}$，---------------------------------------（3分）
∴點P_n的坐標為${P_n}（-n-\frac{3}{2}，-3n-\frac{5}{4}）$------------------------------（4分）
（2）據(jù)題意可設拋物線C_n的方程為：$y=a{（x-{x_n}）^2}+{y_n}$，
即$y=a{（x+n+\frac{3}{2}）^2}-3n-\frac{5}{4}$，----------------------（5分）
∵拋物線C_n過點${D_n}（0，{n^2}+1）$，
∴${n^2}+1=a{（n+\frac{3}{2}）^2}-3n-\frac{5}{4}=a{n^2}+（3a-3）n+\frac{9a}{4}-\frac{5}{4}$，
∴a=1，∴$y={（x+n+\frac{3}{2}）^2}-3n-\frac{5}{4}$，-----------------------------（6分）
∵過點D_n且與拋物線C_n相切的直線即為以D_n為切點的切線，
∴${k_n}={\left.{y^'}\right|_{x=0}}={\left.{2（x+n+\frac{3}{2}）}\right|_{x=0}}=2n+3$，-----------------------------------（7分）
∴$\frac{1}{{{k_{n-1}}{k_n}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$（n≥2）-----------------------------（8分）
∴$\frac{1}{{{k_1}{k_2}}}+\frac{1}{{{k_2}{k_3}}}+…+\frac{1}{{{k_{n-1}}{k_n}}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+3}）$---------------------------------（9分）
∴$\frac{1}{{{k_1}{k_2}}}+\frac{1}{{{k_2}{k_3}}}+…+\frac{1}{{{k_{n-1}}{k_n}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+3}）＜\frac{1}{10}$---------------------------（10分）

點評 本題考查數(shù)列與解析幾何結合題目，數(shù)列求和的方法，考查分析問題解決問題的能力．