Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
（1）求證：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$互相垂直，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）．

Answer 1

分析 （1）計算數(shù)量積，觀察數(shù)量積是否為0．
（2）令$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$=0，整理出k關(guān)于t的函數(shù)．

解答 證明：（1）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}$-1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
解：（2）∵$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$，∴（$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$）•（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）=0，
∴-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+t（t²-3）${\overrightarrow}^{2}$=0．
∵${\overrightarrow{a}}^{2}$=4，${\overrightarrow}^{2}$=1，
∴-4k+t（t²-3）=0，即k=$\frac{{t}^{3}-3t}{4}$．
∴f（t）=$\frac{{t}^{3}-3t}{4}$．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．