16.設(shè)$\overrightarrow{a}$=(1,2,0),$\overrightarrow$=(1,0,1).則“$\overrightarrow{c}$=($\frac{2}{3}$,-$\frac{1}{3}$,-$\frac{2}{3}$)”是“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$且$\overrightarrow{c}$為單位向量”的充分不必要條件(填充要,充分不必要,必要不充分).

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義和公式求出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo),根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

解答 解:設(shè)$\overrightarrow{c}$=(x,y,z),若滿足“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$且$\overrightarrow{c}$為單位向量”
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{c}•\overrightarrow=x+z=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$,
即x=-2y,z=-x=2y,代入x2+y2+z2=1得4y2+y2+4y2=1,
即9y2=1,y2=$\frac{1}{9}$,
則y=$\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{3}$,
當(dāng)y=$\frac{1}{3}$時(shí),$\overrightarrow{c}$=(-$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$),
當(dāng)y=$-\frac{1}{3}$,$\overrightarrow{c}$=($\frac{2}{3}$,-$\frac{1}{3}$,-$\frac{2}{3}$),
故“$\overrightarrow{c}$=($\frac{2}{3}$,-$\frac{1}{3}$,-$\frac{2}{3}$)”是“$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow$且$\overrightarrow{c}$為單位向量”的充分不必要條件,
故答案為:充分不必要

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出向量$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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